本地时间:
 项目公告:富融期权学院诚征合作机构,长期开办期权投资策略高级培训课程,合作方式和具体合作事宜,欢迎通过以下电子邮件联系我们: options@frontfund.com 我要咨询 | 学员注册
用户名
密  码
验证码 看不清楚请点击刷新验证码
 
 

Vanilla Options and Basic Greeks

发布时间: 2016-08-07 被阅览数: 111 次 来源: 富融期权转自网络

 

    期权远在古希腊时期就已出现,在文艺复兴时期的欧洲更是广为使用。当代意义上的期权套利策略应当是产生于二战后的美国,高帅富数学教授Edward Thorp在横扫赌场之后转战华尔街,他于上世纪60年代就发现了Black Scholes model,并成功运用于可转债套利当中,他经营的以可转债套利为核心策略的对冲基金从60年代到90年代年化回报率高达20%。这一章我们通过解释期权的基本概念,会在文章最后给出Thorp教授套利的核心公式。

    期权的核心是给出了一个非线性的、且有时间约束的金融结构。正是因为非线性的结构,才导致了Greeks这一系列概念和各种导数/积分的应用。                         

    在Black-Scholes的世界里,核心的模型约束是:1)无套利;2)股票价格遵循几何布朗运动;3)可以连续对冲,可以买或者卖空的股票;4)波动率非随机。经典教材里(例如John Hull)的其他约束条件在实际应用中都是可以放宽,并且有比较简明的解析解。最后一个条件也可以放宽,我们下一章会回到这个话题。

    BS公式的核心是波动率。我们会在下一章详细讲解波动率平面以及波动率模型。在实际应用中,一般只有场内的个股期权是美式期权,其他交易的品种均为欧式期权。美式期权提前行权的条件跟dividend有关,而且也没有简单显式解,在此暂时不展开论述了。

    Put的价格可以根据put-call parity这个model independent的公式推出。

    put-call parity里面含有vol这个变量的只有call和put的价格,所以call对于vol求导(vega)或者对于S求2阶导(gamma)或者对于时间求导(theta)所得到的结果与put的结果恒等。所以对于来说交易员如果能够完全对冲vol以外的变量,put和call对于他们是一样的。

    Implied vol对于put和call是一样的,如果在Bloomberg终端上,在交易时间内看到OMON下面同一个strike同一个到期日的call和put的mid implied vol不一样,原因无非是:1)期权流动性差,到时put和call没有人套利或者没有同时交易;2)市场上的forward定价和Bloomberg模型有出入,这意味着股票的dividend或者implied borrow和Bloomberg模型有较大出入。

    一个期权的风险是从Greeks的角度来看的,同时Greeks也能帮助交易员迅速的进行pnl attribution。Greeks从数学上来看就是期权价格对于不同参数的各阶导数/偏导数,而一个期权基于Greeks的pnl attribution实际上就是对于期权价格的一个泰勒展开。


    需要注意的是各种Greeks基本都不是希腊人发明的名称,所以里面有非希腊字母……

 

    V代表期权价格,S代表当前股价,T代表到期时间,σ代表implied vol。以下Greeks的显式解可以手算、数学软件符号微分或参考相关教材。

 

   V: 期权价格V对于股价S进行泰勒展开,对于ATM(at-the-money) option,在forward价格F和当前股价S_0相差不远的情况下,可以得到一个近似速算公式V ~ 0.4×S×σ×√T。需要强调的是这个只是一个近似的速算,不能用这个公式来推导任意的Greeks,一个明显的缺陷是这个速算公式对S求二阶导是0,难道说ATM option没有gamma么?


   Delta/∆: ∆=∂V/∂S。股价是期权价格最大的驱动因素,从BS公式里看得出Delta和In-The-Money probability(分别是N(d1)与N(d2))非常接近,所以交易员一般用delta来描述期权ITM probability,所以delta越大,期权到期时ITM的可能性越大。∆的单位是多少股,但在因为不同资产的期权∆无法直接相加,所以在实际应用中计算头寸都是算所谓的$delta,$delta = ∆×S,知道$delta和股价变动的百分比就知道在股价一阶导上的损益。

   Gamma/Γ:Γ=∂∆/∂S=(∂^2 V)/(∂S^2 )。实际应用中使用的是$gamma,也就是每1%的股价变动带来的delta变动,用数学公式表示就是 $gamma = 0.01×S^2×Γ。所有线性的产品根据定义对于股价是没有二阶导的。要想对冲gamma,必须要用另一种具有非线性属性的工具,也就是说要对冲期权风险只能用期权,线性结构无法完美对冲期权风险。

   Theta/Θ:Θ=∂V/∂T。公式计算出的时间价值是年化的,实际应用中一般使用的是每个calendar day的时间价值dollar theta($theta),$theta = Θ/365。

   Vega:Vega=∂V/∂σ。实际使用中交易员关心的是implied vol每变动1%(或者叫做1 vol point)带来的pnl变化,所以实际使用的dollar vega($vega),$vega= Vega X 1%。


    我们使用上面的Greeks,用%s表明股价的百分比变动,通过一些简单的恒等变换,可以得到以下一些简明的结论:


   A.期权价格变动与股价变动的关系(Vanilla option基本可以忽略三阶导及以上风险):

    B.因为在BS模型中,我们的假设是连续对冲,所以整个option hedging portfolio的delta恒定为0,我们可以得到gamma和theta的直观联系(直接用公式也可以验证):

       $theta+50 ×$gamma × (breakeven vol)^2=0,

这里的breakeven vol实际上就是daily implied vol,因为如果实际每天的realized vol符合模型的implied vol,证明期权的delta hedging 可以完美复制期权的payoff,最终的pnl为0。根据implied vol的定义,如果$theta用的是per calendar day,breakeven vol就是 σ/√365;$theta用per business day来算,breakeven vol就是σ/√252(约σ/16)。这个公式也意味着gamma和theta的正负号永远相反。


   C.Gamma和Vega的关系:

        Vega= σ×S^2×T×Γ ,或 $gamma=  $vega/(σ×T)

     这个公式意味着gamma和vega的正负号一致;在相等vega的前提下,到期日越近gamma越大、implied vol越低gamma越大;在相等gamma的前提下,到期日越远或Implied vol越高,vega越大。


    D.根据A)和B),在一个delta neutral的option策略中,不考虑vega mark-to-market pnl前提下,所以这个option with delta hedging的最终pnl是可以由路径积分来计算
公式里其中$gamma和%s都和当时的时间t以及当时的股价St有关。

这是一个非常重要的结论。这个公式告诉我们在一个期权上进行delta hedging,我每天实现的pnl跟当天股票的波动率的平方相对于公式里的implied vol的平方之差线性相关,这就是为什么gamma是期权交易员最看重的指标(vega更多和mtm pnl而不是realized pnl相关)。并且这里的波动率永远是以平方的形式出现(期权价格公示中依然),所以在BS世界里影响期权价格和对冲pnl的是方差。


   E.从vega角度来看option with delta hedging的pnl可以用vega ×(σ_realized-σ_implied)来估算。


 

回到文章开头的话题,在Black Scholes公式出现以前并不是没有期权做市商,但是当时期权做市商其实和赌场的dealer没什么区别,我们可以想象一个期权定价的binomial tree或者trinomial tree模型,他的职责是给出一个赔率(股票价格的risk neutral terminal distribution),保证自己不输钱。他们也有deltahedging的概念,但是他们进行delta hedging是为了在平掉某个期权仓位前确保自己不会因为股价变动而输钱。Thorp发现Black Scholes公式之后,期权交易上升到了一个新的高度,期权可以相对精准的定价,同时波动率可以作为一个单独的参数来交易。60年代的美国可转债的内嵌的期权价值并没有被完全认识到,而且因为没有一个期权模型转债的价格很难精准定价,Thorp通过应用他自己发现的Black Scholes公式,可以发现转债内嵌的期权的implied vol是否远远低于或远远高于realized vol,之后通过delta hedging实现公式D)里的收益。


From Thorp, 2003:

To exploit these ideas and others, Jay Regan and I started the first market-neutral derivatives hedge fund, Princeton Newport Partners, in 1969. Convertible hedging was a core profit center for us. I had estimated early on that convertible hedging was a $100 million idea for us. In the event, Princeton Newport Partners made some $250 million for its partners, with half or more of this from convertibles. Convertible hedgers collectively have made tens of billions of dollars over the last three and a half decades.

另一个经典案例是2014A股转债。大家都知道2014年的时候许多A股转债内嵌的期权价值接近于0,买转债的话只要债券不跌,相当于有一个免费的upside。但其实一个更好的策略是买入两地上市的公司的A股转债,使用港股来对转债的option进行delta hedging,套用公式D),因为implied vol0,实际上相当于一个只赚不赔市场中性策略。在中行转债的例子中,在股市启动前,A/H的股价和转股价相距不远(gamma不小),而且市场从6-10月,A/H的价格相差很小,所以用港股对冲是一个有效的策略,11月降准后,A股大幅跑赢H股,我们虽然对冲结果不完美,但是realized pnl与完美对冲比是更多的。这个trade的downside senario在于H股相对于A股上涨。


 

参考材料

John Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9th ed, 2014

John Hull应该是大部分国内学生入门的教材了,也是大部分国外商学院MBA和本科生使用的教材。从trader角度看这本书过于啰嗦,且实用性不强。如果完全没有接触过衍生品可以作为入门的读物。

Sheldon Natenberg, Option Volatility and Pricing, 1994/2014

这本书是外资投行新入门junior trader的圣经,老版本比新版本好。

Nassim Taleb, Dynamic Hedging, 1997

也是许多外资行交易员使用的参考书,涵盖面比Natenberg的书广,包含flow exotics(简单的结构化期权),同时也是数学属性比较强一本书,此书应该是Taleb在读博士期间写的。

Euan Sinclair, Volatility Trading, 2nded, 2013

一本交易员写的实用性极强参考书,是近几年的一本经典,全面涵盖了期权的定价、风险管理、交易,常读常新,可以作为参考书常备案头

Efficient Computation of Option Price Sensitivities Using Homogeneity and other Tricks

http://www.wias-berlin.de/preprint/584/wias_preprints_584.pdf

十几年前德国人写的一篇关于不同greeks之前关系以及显示解推导的paper,全篇都是优美的数学推导,而且是基于多元期权(多个underlying)的general solution。

"Black-Scholes" in Multiple Languages

http://www.espenhaug.com/black_scholes.html

一个诡异的北欧人给出的BS模型在不同编程语言下的实现,他自称最大的爱好就是收集各种期权定价的解析解,另外他这个网页上的漫画画风略飘逸……

本文原创:伽玛交易员


打印】【返回
    富融期权学院 加拿大富融国际发展有限公司 深圳市富融智通管理顾问有限公司
    联系电话:950-404-76899 电子邮箱:OPTIONS@FRONTFUND.COM 客服QQ:1648050199 学员服务及咨询
    2005-2018 ®All Rights Reserved.